準三次元流れ計算法
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なぜ準三次元計算が必要か
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Cabernet2Dの基礎式は，水深方向の流速分布を一様とみなす水深平均2次元浅水流式です．
しかし実際の流れには，蛇行水路の螺旋流（外岸で底面流速が内岸側へ向かう二次流）や，
橋脚・水制などの障害物まわりの馬蹄形渦のように，水深方向に大きく変化する3次元的な
構造が存在します．これらは河床付近の流れの向き・強さを水深平均流速とは異なるものに
し，局所的な洗掘・堆積パターンを支配する要因になります．

準三次元（quasi-3D）流れ計算法は，このような水深方向の流れ構造を簡易的に評価し，
**河床付近の流速（掃流砂の移動方向・強さに直結する量）** を補正するための機能です．
GUIの計算条件「Quasi-3D calculation method (j_q3d)」で3種類の手法から選択します．

GUI上の3つの選択肢
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.. list-table::
   :header-rows: 1
   :widths: 10 30 60

   * - GUI表示
     - 名称
     - 概要
   * - (0)
     - Engelund理論平衡二次流
     - 流線曲率から河床付近の横断流速を直接・瞬時に算定する最も簡便な方法．
   * - (1)
     - Nays2DH方式 :math:`A_n` 輸送方程式
     - 二次流強度 :math:`A_n` を輸送方程式で時間発展させ，湾曲部入口・出口での
       発達・減衰の遅れを表現する．
   * - (2)
     - BVC＋動圧補正（内田・福岡 2012）
     - 水平渦度の輸送方程式から河床付近の流速ベクトルを直接推定し，分散応力・
       非静水圧底面圧力の補正項を水深平均運動方程式に追加する．

.. note::

   方法(2) BVCは，橋脚や不透過水制など，流れが短い距離で急激に変化する場合の
   局所洗掘計算に非常に有効です．一方，直線水路や緩やかな蛇行水路では，より
   簡便な方法(0) Engelundや方法(1) Nays2DHのほうが実測の河床変動を同等かそれ
   以上に再現する場合もあります．(2)を最終的な結果として採用する前に，対象と
   する現場の条件や目的に応じて(0)/(1)とも比較検討することをお勧めします．

(0) Engelund理論平衡二次流
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

局所的な流線曲率と水深・流速から，二次流強度を平衡状態として直接計算します
（Engelund, 1974）．

.. math::
   A_n = V \cdot h \cdot \frac{1}{r_s}

.. math::
   u_{n,\mathrm{bed}} = \beta_g \cdot N^* \cdot V \cdot \frac{h}{r_s}

ただし :math:`V` は水深平均流速，:math:`h` は水深，:math:`r_s` は流線の曲率半径，
:math:`\beta_g` は掃流砂量式の係数，:math:`N^*` は二次流強度係数です．

:math:`N^*` はGUIパラメータ「Secondary flow intensity coefficient N\* (snst)」
で設定します（既定値7.0，Engelund理論値）．この手法を選んだ場合のみ有効になり，
他の手法では既定値のまま固定されGUI上に表示されません．

計算が瞬時（平衡仮定）なので最も高速・安定ですが，湾曲部入口での二次流の
発達の遅れは表現できません．

(1) Nays2DH方式 :math:`A_n` 輸送方程式
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

二次流強度 :math:`A_n` を輸送方程式で時空間的に発展させ，平衡仮定を取り除いた
方法です（Johannesson & Parker, 1989；細田ら, 2000；岩崎・清水・木村, 2013）．

.. math::
   \lambda_v \frac{\partial(A_n/J)}{\partial t}
   + \nabla \cdot \left[\boldsymbol{u}_{\mathrm{surf}} \cdot \frac{u_{n,\mathrm{surf}}}{J}\right]
   - \nabla \cdot \left[\boldsymbol{u}_{\mathrm{bed}} \cdot \frac{u_{n,\mathrm{bed}}}{J}\right]
   = \frac{1}{J}\frac{u_{s,\mathrm{surf}}^2 - u_{s,\mathrm{bed}}^2}{r_s}
   + \frac{A_n}{J}\cdot\frac{V(\chi^2 + \frac{7}{12}\chi + \frac{1}{12})}{h\,\chi_1^3}

:math:`J` は計算格子のヤコビアン，:math:`\lambda_v` は時間スケール係数，
:math:`\chi,\,\chi_1` はEngelundパラメータ，添字surf・bedはそれぞれ水面付近・
河床付近の値を表します．

湾曲部入口・出口での二次流の発達・減衰の遅れを再現でき，蛇行水路の計算に
適しています．また，3次元流速分布を水深積分したときに生じる分散応力
（螺旋流による外岸底面せん断力の増大）を，水深平均運動方程式に直接フィード
バックします．

(2) BVC＋動圧補正
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

一般底面流速解析法（内田・福岡, 2011, 2012）により，水表面流速と水平渦度の
水深積分から河床付近の流速ベクトルを直接推定します．

.. math::
   u_{b,x} = u_{s,x} - \Omega_y \cdot h - \frac{\partial W_h}{\partial x}
             - w_s\frac{\partial z_s}{\partial x}, \qquad
   u_{b,y} = u_{s,y} + \Omega_x \cdot h - \frac{\partial W_h}{\partial y}
             - w_s\frac{\partial z_s}{\partial y}

:math:`\Omega_i` は水平渦度の水深積分，:math:`W_h` は鉛直流速の水深積分，
:math:`w_s` は水面の鉛直流速，:math:`z_s` は水面標高です．障害物上流面での
水面の隆起・吹き上がりを通じて，馬蹄形渦に対応する底面流速の逆転が自然に
表現されます．浅水流近似ではこの効果を省略するため，障害物上流で正しい
底面流速パターンが得られません．

方法(2)では，上記の底面流速推定に加えて，以下の2つの補正項が水深平均運動
方程式に常時組み込まれます（GUI上は単一の選択肢として提供され，内部的に
既定値で動作します）．

- **分散テンソル**：BVC表面・底面流速の差から，3次元流速分布を水深積分した
  際に生じる運動量輸送（蛇行水路の螺旋流・障害物周りの馬蹄形渦による効果）
  を評価し，追加の力として運動方程式に加えます．
- **非静水圧底面圧力補正**：鉛直運動方程式を準定常で積分して得られる底面の
  非静水圧圧力偏差を，水深平均運動方程式の圧力勾配項に追加します．

橋脚・水制まわりの局所洗掘のように，流れが短い距離で急激に変化する場面で
特に威力を発揮します．一方，計算コストは3手法の中で最も高く，また急峻な
曲率変化を伴う領域では数値的な安定化処理（渦度の上限クランプ，障害物隣接
セルでの評価除外など）が内部的に働きます．

3次元流速分布の出力（オプション）
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いずれの手法を選んでも，GUIの「3D Velocity Profile」グループで鉛直方向の
流速分布を出力できます．これは流れ場・流砂・河床変動の計算そのものには
影響しない，可視化のためのオプション機能です．

.. list-table::
   :header-rows: 1
   :widths: 25 75

   * - パラメータ
     - 説明
   * - 3D velocity computation (j_3d)
     - 鉛直流速分布を計算するかどうか．方法(2) BVCを選んだ場合は，この
       チェックの有無によらず常時計算されます．
   * - Number of vertical layers (nz)
     - 鉛直方向の分割層数（既定10）．
   * - Vertical velocity calculation (j_3dv)
     - 鉛直流速成分を3次元連続式の積分から計算するかどうか．

方法(0)(1)ではEngelund (1974) の多項式プロファイル（主流方向は2次，二次流
方向は6次），方法(2)ではBVCの3次多項式プロファイルが使われます．

手法の選び方の目安
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- 計算を素早く安定して回したい，あるいは横断方向の土砂移動を簡易的に見積もるだけでよい場合 → **(0) Engelund**
- 蛇行水路で湾曲部入口・出口の二次流の発達遅れを再現したい場合 → **(1) Nays2DH**
- 橋脚・水制など局所的な障害物まわりの洗掘を精度よく再現したい場合 → **(2) BVC＋動圧補正**
  （ただし直線・緩やかな蛇行では(0)/(1)の方が良い結果になる場合もあるため，必ず比較検討してください）

参考文献
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- Engelund, F. (1974): Flow and bed topography in channel bends. *J. Hydraul. Div.*, 100(11), 1631-1648.
- Johannesson, H. & Parker, G. (1989): Secondary flow in mildly sinuous channel. *J. Hydraul. Eng.*, 115(3), 289-308.
- 細田尚・長田信寿・岩田通明・木村一郎 (2000): 一般座標系での主流と二次流の遅れを考慮した平面二次元モデル. *水工学論文集*, 第44巻, pp. 587-592.
- 岩崎理樹・清水康行・木村一郎 (2013): 二次流モデルが自由砂州計算に与える影響. *土木学会論文集B1（水工学）*, 69(3), pp. 147-163.
- 内田龍彦・福岡捷二 (2011): 一般底面流速解析法による準三次元河床変動計算法. *土木学会論文集B1（水工学）*, 67(1), pp. 16-29.
- 内田龍彦・福岡捷二 (2012): 非静水圧底面圧力を考慮した準三次元河床変動計算法. *水工学論文集*, 第56巻, I_1225-I_1230.