基礎式

Cabernet2Dでは以下の2次元浅水流式を用います．

\[\frac{\partial h}{\partial t}+\frac{\partial (uh)}{\partial x}+ \frac{\partial (vh)}{\partial y}=0\]

\[\frac{\partial u}{\partial t}+u \frac{\partial u}{\partial x}+ v \frac{\partial u}{\partial y}= -g \frac{\partial H}{\partial x} -\frac{\tau_x}{\rho h}+ \frac{\partial}{\partial x} (\nu_t \frac{\partial u}{\partial x})+ \frac{\partial}{\partial y} (\nu_t \frac{\partial u}{\partial y})\]

\[\frac{\partial v}{\partial t}+u \frac{\partial v}{\partial x}+ v \frac{\partial v}{\partial y}= -g \frac{\partial H}{\partial y} -\frac{\tau_y}{\rho h}+ \frac{\partial}{\partial x} (\nu_t \frac{\partial v}{\partial x})+ \frac{\partial}{\partial y} (\nu_t \frac{\partial v}{\partial y})\]

ただし, \(x, y\) は互いに直交する平面座標軸, \(t\) は時間, \(u, v\) は \(x, y\) 方向の水深平均流速, \(h\) は水深, \(H\) は水位, \(g\) は重力加速度, \(\tau_x, \tau_y\) は \(x, y\) 方向の河床せん断力, \(\rho\) は水の密度, \(\nu_t\) は渦動粘性係数である．

抵抗則にマニング則を用いると, 河床せん断力は下記で表される．

\[\frac{\tau_x}{\rho h}= \frac{gn^2}{h^{4/3}} u\sqrt{u^2+v^2}, \ \ \ \frac{\tau_y}{\rho h}= \frac{gn^2}{h^{4/3}} v\sqrt{u^2+v^2}\]

ただし, \(n\) はマニングの粗度係数. 渦動粘性係数は，ゼロ方程式モデルを採用し，下記で表す．

\[\nu_t = \frac{\kappa}{6} u_\ast h\]

ただし，\(u_\ast\) は摩擦速度

\[u_\ast=\sqrt{ghI_f}, \ \ \ I_f=\frac{n^2 (u^2+v^2)}{h^{4/3}}\]

ただし，\(I_f\) は摩擦勾配である．

流砂，河床変動に関する基礎式はNays2dHのものと同様ですので，ここでの記載は省略します．

数値計算法

計算はNays2dHと同様に上記基礎式を境界適合の2次元一般座標の方程式に変化し，構造格子型の格子上でセルセンターに水深の計算点，格子の辺の流速の計算点と配置するスタカード格子による差分法で行われます．タイムステップ毎に，運動方程式は移流部分を非移流部分に分ける分離解法を用い，移流部分はCIP法を，非移流部分は運動方程式と連立して \(u, v, h\) が同時に満たされるように繰り返し計算を行います．

Cabernet2Dでは合流支川や分派河川も本川と一体で計算し，全体を１つの領域として計算します．境界条件は個々の河川網における流入境界，流出境界においてGUI上でその位置および条件を指定するようになっています．

計算手順

計算手順は下記の通りです．

計算格子の作成
流入・流出など境界条件の設定
計算条件の設定
計算の実施
計算結果の表示