準三次元流れ計算法

なぜ準三次元計算が必要か

Cabernet2Dの基礎式は，水深方向の流速分布を一様とみなす水深平均2次元浅水流式です．しかし実際の流れには，蛇行水路の螺旋流（外岸で底面流速が内岸側へ向かう二次流）や，橋脚・水制などの障害物まわりの馬蹄形渦のように，水深方向に大きく変化する3次元的な構造が存在します．これらは河床付近の流れの向き・強さを水深平均流速とは異なるものにし，局所的な洗掘・堆積パターンを支配する要因になります．

準三次元（quasi-3D）流れ計算法は，このような水深方向の流れ構造を簡易的に評価し， 河床付近の流速（掃流砂の移動方向・強さに直結する量） を補正するための機能です． GUIの計算条件「Quasi-3D calculation method (j_q3d)」で3種類の手法から選択します．

GUI上の3つの選択肢

GUI表示	名称	概要
	Engelund理論平衡二次流	流線曲率から河床付近の横断流速を直接・瞬時に算定する最も簡便な方法．
	Nays2DH方式 \(A_n\) 輸送方程式	二次流強度 \(A_n\) を輸送方程式で時間発展させ，湾曲部入口・出口での発達・減衰の遅れを表現する．
	BVC＋動圧補正（内田・福岡 2012）	水平渦度の輸送方程式から河床付近の流速ベクトルを直接推定し，分散応力・非静水圧底面圧力の補正項を水深平均運動方程式に追加する．

注釈

方法(2) BVCは，橋脚や不透過水制など，流れが短い距離で急激に変化する場合の局所洗掘計算に非常に有効です．一方，直線水路や緩やかな蛇行水路では，より簡便な方法(0) Engelundや方法(1) Nays2DHのほうが実測の河床変動を同等かそれ以上に再現する場合もあります．(2)を最終的な結果として採用する前に，対象とする現場の条件や目的に応じて(0)/(1)とも比較検討することをお勧めします．

(0) Engelund理論平衡二次流

局所的な流線曲率と水深・流速から，二次流強度を平衡状態として直接計算します（Engelund, 1974）．

\[A_n = V \cdot h \cdot \frac{1}{r_s}\]

\[u_{n,\mathrm{bed}} = \beta_g \cdot N^* \cdot V \cdot \frac{h}{r_s}\]

ただし \(V\) は水深平均流速，\(h\) は水深，\(r_s\) は流線の曲率半径， \(\beta_g\) は掃流砂量式の係数，\(N^*\) は二次流強度係数です．

\(N^*\) はGUIパラメータ「Secondary flow intensity coefficient N* (snst)」で設定します（既定値7.0，Engelund理論値）．この手法を選んだ場合のみ有効になり，他の手法では既定値のまま固定されGUI上に表示されません．

計算が瞬時（平衡仮定）なので最も高速・安定ですが，湾曲部入口での二次流の発達の遅れは表現できません．

(1) Nays2DH方式 \(A_n\) 輸送方程式

二次流強度 \(A_n\) を輸送方程式で時空間的に発展させ，平衡仮定を取り除いた方法です（Johannesson & Parker, 1989；細田ら, 2000；岩崎・清水・木村, 2013）．

\[\lambda_v \frac{\partial(A_n/J)}{\partial t} + \nabla \cdot \left[\boldsymbol{u}_{\mathrm{surf}} \cdot \frac{u_{n,\mathrm{surf}}}{J}\right] - \nabla \cdot \left[\boldsymbol{u}_{\mathrm{bed}} \cdot \frac{u_{n,\mathrm{bed}}}{J}\right] = \frac{1}{J}\frac{u_{s,\mathrm{surf}}^2 - u_{s,\mathrm{bed}}^2}{r_s} + \frac{A_n}{J}\cdot\frac{V(\chi^2 + \frac{7}{12}\chi + \frac{1}{12})}{h\,\chi_1^3}\]

\(J\) は計算格子のヤコビアン，\(\lambda_v\) は時間スケール係数， \(\chi,\,\chi_1\) はEngelundパラメータ，添字surf・bedはそれぞれ水面付近・河床付近の値を表します．

湾曲部入口・出口での二次流の発達・減衰の遅れを再現でき，蛇行水路の計算に適しています．また，3次元流速分布を水深積分したときに生じる分散応力（螺旋流による外岸底面せん断力の増大）を，水深平均運動方程式に直接フィードバックします．

(2) BVC＋動圧補正

一般底面流速解析法（内田・福岡, 2011, 2012）により，水表面流速と水平渦度の水深積分から河床付近の流速ベクトルを直接推定します．

\[u_{b,x} = u_{s,x} - \Omega_y \cdot h - \frac{\partial W_h}{\partial x} - w_s\frac{\partial z_s}{\partial x}, \qquad u_{b,y} = u_{s,y} + \Omega_x \cdot h - \frac{\partial W_h}{\partial y} - w_s\frac{\partial z_s}{\partial y}\]

\(\Omega_i\) は水平渦度の水深積分，\(W_h\) は鉛直流速の水深積分， \(w_s\) は水面の鉛直流速，\(z_s\) は水面標高です．障害物上流面での水面の隆起・吹き上がりを通じて，馬蹄形渦に対応する底面流速の逆転が自然に表現されます．浅水流近似ではこの効果を省略するため，障害物上流で正しい底面流速パターンが得られません．

方法(2)では，上記の底面流速推定に加えて，以下の2つの補正項が水深平均運動方程式に常時組み込まれます（GUI上は単一の選択肢として提供され，内部的に既定値で動作します）．

分散テンソル：BVC表面・底面流速の差から，3次元流速分布を水深積分した際に生じる運動量輸送（蛇行水路の螺旋流・障害物周りの馬蹄形渦による効果）を評価し，追加の力として運動方程式に加えます．
非静水圧底面圧力補正：鉛直運動方程式を準定常で積分して得られる底面の非静水圧圧力偏差を，水深平均運動方程式の圧力勾配項に追加します．

橋脚・水制まわりの局所洗掘のように，流れが短い距離で急激に変化する場面で特に威力を発揮します．一方，計算コストは3手法の中で最も高く，また急峻な曲率変化を伴う領域では数値的な安定化処理（渦度の上限クランプ，障害物隣接セルでの評価除外など）が内部的に働きます．

3次元流速分布の出力（オプション）

いずれの手法を選んでも，GUIの「3D Velocity Profile」グループで鉛直方向の流速分布を出力できます．これは流れ場・流砂・河床変動の計算そのものには影響しない，可視化のためのオプション機能です．

パラメータ	説明
3D velocity computation (j_3d)	鉛直流速分布を計算するかどうか．方法(2) BVCを選んだ場合は，このチェックの有無によらず常時計算されます．
Number of vertical layers (nz)	鉛直方向の分割層数（既定10）．
Vertical velocity calculation (j_3dv)	鉛直流速成分を3次元連続式の積分から計算するかどうか．

方法(0)(1)ではEngelund (1974) の多項式プロファイル（主流方向は2次，二次流方向は6次），方法(2)ではBVCの3次多項式プロファイルが使われます．

手法の選び方の目安

計算を素早く安定して回したい，あるいは横断方向の土砂移動を簡易的に見積もるだけでよい場合 → (0) Engelund
蛇行水路で湾曲部入口・出口の二次流の発達遅れを再現したい場合 → (1) Nays2DH
橋脚・水制など局所的な障害物まわりの洗掘を精度よく再現したい場合 → (2) BVC＋動圧補正 （ただし直線・緩やかな蛇行では(0)/(1)の方が良い結果になる場合もあるため，必ず比較検討してください）

参考文献

Engelund, F. (1974): Flow and bed topography in channel bends. J. Hydraul. Div., 100(11), 1631-1648.
Johannesson, H. & Parker, G. (1989): Secondary flow in mildly sinuous channel. J. Hydraul. Eng., 115(3), 289-308.
細田尚・長田信寿・岩田通明・木村一郎 (2000): 一般座標系での主流と二次流の遅れを考慮した平面二次元モデル. 水工学論文集, 第44巻, pp. 587-592.
岩崎理樹・清水康行・木村一郎 (2013): 二次流モデルが自由砂州計算に与える影響. 土木学会論文集B1（水工学）, 69(3), pp. 147-163.
内田龍彦・福岡捷二 (2011): 一般底面流速解析法による準三次元河床変動計算法. 土木学会論文集B1（水工学）, 67(1), pp. 16-29.
内田龍彦・福岡捷二 (2012): 非静水圧底面圧力を考慮した準三次元河床変動計算法. 水工学論文集, 第56巻, I_1225-I_1230.